线性映射#

第 11 题#

设 $V$ 是有限维的，$T \in \mathcal L(V)$．证明

当且仅当

必要性 ($\Rightarrow$) 易证，充分性 ($\Leftarrow$) 如下．

思路：要证 $Tv = \lambda v$，为了能利用上 $ST = TS$，我们取 $S \in \mathcal L(V)$，且满足 $v = Su$，此时

$$Tv = T(Su) = S(Tu) \overset{?}{=} \lambda v$$

虽然 $v = Su$ 和线性映射这两个条件会让 $S$ 的存在性无法保证，但可以看到，我们还希望让 $S$ 映射到 $v$ 的方向上，于是我们进一步取 $S_v \in \mathcal L(V)$，且满足 $S_v u = \varphi(u)v$，其中 $\varphi : V \rightarrow \mathbf F$．

为了保证 $S_v$ 的线性性，此时 $\varphi$ 必须为线性映射，但我们又想让它在某个输入下输出 $1$，以便我们作替换

$$Tv = T(\varphi(?)v) = T(S_v (?)) = S_v(T(?)) = \varphi(T(?)) v$$

想让线性映射输出特定，输入只能是基向量．因为 $V$ 是有限维的 ($\dim V = 0$ 的情形显然，不做讨论)，设 $V$ 的一组基为

$$\{v_1, v_2, \cdots, v_m\}$$

设法让 $\varphi(v_1) = 1$，其他的输出任意．所有输出确定后，根据线性映射引理，这个线性映射 $\varphi$ 存在，且被唯一确定，因此将 $?$ 替换成 $v_1$ 即可完成证明．

第 13 题#

设 $V$ 是有限维的，$U$ 是 $V$ 的子空间，$S \in \mathcal L(U, W)$，证明：

$T$ 在 $U$ 上的映射和 $S$ 保持一致即可，人为构造在 $V - U$ 上的映射，使整体保持线性性较为困难．

证明：不妨从整体出发，直接在 $V$ 上找满足局部条件的映射，这样容易保证线性性．为了满足局部条件，我们选取从 $U$ 基 (线性无关组) 拓展出来的 $V$ 基 ($\dim V = 0$ 的情形显然，不做讨论)

$$\{u_1, \cdots, u_{m}, v_{m+1}, \cdots, v_n\}$$

我们令

$$\begin{aligned} Tu_i &= Su_i, & i &= 1, \cdots, m \\ Tv_j &\in W, & j &= m + 1, \cdots, n \end{aligned}$$

根据线性映射引理，$T \in \mathcal L(V, W)$ 存在且唯一，且 $\forall\, u \in U$，

$$\begin{aligned} Tu &= c_1Tu_1 + \cdots + c_mTu_m \\ &= c_1Su_1 + \cdots + c_mSu_m = Su \end{aligned}$$

原命题得证．

第 14 题#

设 $V$ 是有限维的，$W$ 是无限维的，$\dim V > 0$，证明：$\mathcal L(V, W)$ 是无限维的．

证明：只需证能构造出无穷序列 $\{T_i\}$，使得 $\forall\, n \in \mathbf N_+$，

$$T_1, \cdots, T_n$$

线性无关，即

$$c_1T_1 + \cdots + c_nT_n = 0$$

只有平凡解，也就是 $\forall\, v \in V$，

$$(c_1T_1 + \cdots + c_nT_n)v = 0$$

只有平凡解．设 $V$ 的一组基为

$$\{v_1, \cdots, v_m\}$$

由于 $W$ 是无限维的，因此存在无穷序列 $\{w_i\}$，使得 $\forall\, k \in \mathbf N_+$，

$$w_1, \cdots, w_k$$

线性无关．

为了强迫映射线性无关，我们取 $k = n$，令

$$T_iv_j = w_i, \quad i = 1, \cdots, n,\quad j = 1, \cdots, m$$

根据线性映射引理，这些 $T_i$ 均存在且唯一．对于 $\forall\, v \in V$，

$$v = d_1v_1 + \cdots + d_mv_m$$

此时

$$\begin{aligned} & (c_1T_1 + \cdots + c_nT_n)v \\ ={}& c_1T_1(d_1v_1 + \cdots + d_mv_m) + {}\\ &\cdots + c_nT_n(d_1v_1 + \cdots + d_mv_m) \\ ={}& (d_1 + \cdots + d_m)(c_1w_1 + \cdots + c_nw_n) \end{aligned}$$

我们发现 $d_1 + \cdots + d_m$ 可能为 $0$．

该怎么办？这个问题其实可以规避掉．因为基的任意性，我们在验证 $\forall\, v \in V$，

$$c_1T_1v + \cdots + c_nT_nv = 0$$

平凡解情况的时候，其实可以用 $v_1$ 去检验，从而减少不必要的任意性．

我们改变映射的定义：

$$T_iv_1 = w_i, \quad i = 1, \cdots, n$$

$T_iv_j$ 任意，$j = 2, \cdots, m$，此时

$$(c_1T_1 + \cdots + c_nT_n)v_1 = c_1w_1 + \cdots + c_nw_n = 0$$

显然只有平凡解．

原命题得证．

第 9 题#

设 $T \in \mathcal L(V, W)$ 是单射，$v_1, \cdots, v_n$ 在 $V$ 中线性无关，证明：

在 $W$ 中线性无关．

在不浪费维度的情况下，单射保持线性无关性．

证明：$T \in \mathcal L(V, W)$ 是单射，故 $\text{null}\, T = \{0\}$，考虑若方程

$$c_1Tv_1 + \cdots + c_nTv_n = 0$$

成立，则 $c_1v_1 + \cdots + c_nv_n \in \text{null}\, T$，又因为 $v_1, \cdots, v_n$ 在 $V$ 中线性无关，因此

$$c_1v_1 + \cdots + c_nv_n = 0$$

仅有平凡解，原方程也仅有平凡解，原命题得证．

第 11 题#

设 $V$ 是有限维的，$T \in \mathcal L(V, W)$，证明：存在 $V$ 的一个子空间 $U$，使得

也就是说，除了 $0$，核 (零空间) 对值域没有贡献．

证明：$\text{null}\, T$ 是 $V$ 的子空间，故进行直和分解

$$V = U \oplus \text{null}\, T$$

此时 $U \cap \text{null}\, T = \{0\}$，且 $U$ 基与 $\text{null}\, T$ 基共同组成 $V$ 基

$$\{u_1, \cdots, u_m, w_1, \cdots, w_k\}$$

我们将证明此 $U$ 即为所求子空间．任取 $Tv \in \text{range}\, T$，

$$\begin{aligned} Tv &= T(c_1u_1 + \cdots + c_mu_m + d_1w_1 + \cdots + d_kw_k) \\ &= T(c_1u_1 + \cdots + c_mu_m) = Tu, \quad u \in U \end{aligned}$$

故 $\text{range}\, T \subset \{Tu : u \in U\}$，易证 $\text{range}\, T \supset \{Tu : u \in U\}$，得证．

第 18 题#

设 $V$ 和 $W$ 都是有限维的，$U$ 是 $V$ 的子空间，证明：

当且仅当

必要性 ($\Rightarrow$) 显然，下面证明充分性 ($\Leftarrow$)．

证明：考虑直和分解 $V = U \oplus X$，取 $V$ 基

$$\{u_1, \cdots, u_m, \cdots, x_1, \cdots, x_k\}$$

取 $W$ 基

$$\{w_1, \cdots, w_n\}$$

根据题意，可以保证直和补维数不大于陪域维数

$$k = \dim V - \dim U \le \dim W = n$$

构造线性映射，可以尝试从基入手：

根据线性映射引理，取 $T \in \mathcal L(V, W)$，满足

$$Tu_i = 0, \quad Tx_j = w_j$$

易证 $\text{null}\, T \supset U$．任取 $Tv = 0$，直和分解 $v = u + x$，于是

$$Tx = T(v - u) = 0$$

得 $x \in \text{null}\, T$，但 $T$ 不是单射，无法证明 $x = 0$．

怎么办？引理无法保证线性映射的单射与否，但我们先前已经有了更进一步的结论：习题 3B.16 告诉我们，只要定义域的维数不大于陪域的维数，我们还有能力让找到的线性映射成为单射．

由于 $\dim X \le \dim W$，取单射 $S: X \rightarrow W$，根据习题 3A.13，将 $S$ 进一步拓展成 $T: V \rightarrow W$，使其除了满足

$$\forall\, x \in X, \: Tx = Sx$$

还满足

$$\forall\, u + x \in V,\:T(u + x) = Sx$$

这通过令 $Tu_i = 0$ 即可实现．

现在 $T$ 在 $X$ 上的限制 $S$ 是单射，也就是说

$$T(u + x) = 0 \Leftrightarrow Sx = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Leftrightarrow u + x \in U$$

这说明 $\text{null}\, T = U$，原命题得证．